Fläche zw. x-Achse

Kapiteleintrag

Fläche vollständig zwischen \(f\) und x-Achse

Wie im Bild zu erkennen, wird eine insgesamt eingeschlossene Fläche von den Nullstellen begrenzt. Aus diesem Grund integrieren wir über die Nullstellen und erhalten so die gesuchte Fläche.

1. Beispiel

\(f(x)=-\frac32x^2+6x\)

\(\Rightarrow{F}(x)=-\frac12x^3+3x^2\)

Nullstellen

\(f(x)=0\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=4\)

Berechnung der Fläche

\(A=\int_0^4\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(4)-F(0)\)

\(=-\frac12\cdot4^3+3\cdot4^2-(0)\)

\(=16FE\)

Okay, bevor wir die insgesamt eingeschlossene Fläche also bestimmen können, benötigen wir die Nullstellen von \(f\). Wir berechnen diese natürlich durch \(f(x)=0\), und erhalten hier \(x=0\vee{x}=4\).

Um die Fläche schließlich zu berechnen, bestimmen wir das zugehörige Integral \(\int_0^4f(x)\text{ d}x\). Wir erhalten eine vollständig eingeschlossene Fläche von \(A=16FE\).

Analog zur normalen Flächenberechnung, dürfen wir auch hier nicht über Nullstellen hinweg integrieren. Bei drei oder mehr Nullstellen, muss also von Nullstelle zu Nullstelle integriert werden!

2. Beispiel

\(f(x)=\frac15x^3-\frac85x^2+3x\)

\(\Rightarrow{F}(x)=\frac{1}{20}x^4-\frac{8}{15}x^3+\frac32x^2\)

Nullstellen

\(f(x)=0\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=3\vee{x}=5\)

Berechnung der Flächen

\(A_1=\int_0^3\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(3)-F(0)=3{,}15FE\)

\(A_2=\int_3^5\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(5)-F(3)\approx-1{,}067FE\)

\(\Rightarrow{A}_{ges}\approx3{,}15+1{,}067\approx4{,}217\)

Bei der Bestimmung der Nullstellen erhalten wir drei Lösungen. Ergo müssen wir zwei Integrale berechnen, nämlich erst von der ersten zur zweiten Nullstelle und dann weiter von der zweiten zur dritten.

Beachte dazu noch einmal, dass das hintere Integral (unterhalb der x-Achse) negativ ist, es liefert den Wert \(\approx-1{,}067\). Für die Gesamtfläche addieren wir natürlich die positiven Werte (~die Beträge der Integrale).

Um die Fläche zwischen Funktion und x-Achse vollständig zu berechnen, muss man von-Nullstelle-zu-Nullstelle integrieren.

Genaugenommen fehlt in dem Satz unten noch der Zusatz, dass die Nullstellen aufsteigend sortiert sind, also \((x_0\lt{x}_1\lt\) \(...\) \(\lt{x}_n)\). Dass man bspw. bei den Nullstellen \(-3\), \(1\) und \(6\) von \(-3\) bis \(1\) und von \(1\) bis \(6\) integrieren muss, ist aber wohl jedem klar, oder? ;)

Fläche zwischen \(f\) und x-Achse

\(f(x)=0\Leftrightarrow{x}=x_0\vee{x}=x_1\vee\) \(...\) \(\vee{x}=x_n\)

\(\Rightarrow{A}_{ges}=\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx+\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx+\) \(...\) \(+\int_{x_{n-1}}^{x_n}f(x)dx\)

Zum Abschluss bestimmen wir noch eine Fläche, die von \(f\) und beiden Achsen eingeschlossen wird.

3. Beispiel

\(f(x)=-\frac12x^3+4\)

\(\Rightarrow{F}(x)=-\frac{1}{8}x^4+4x\)

Nullstelle

\(f(x)=0\Leftrightarrow{x}=2\)

Berechnung der Fläche

\(A=\int_0^2\) \(f(x)\) \(dx\)

\(=F(2)-F(0)\)

\(=6FE\)

Hier wird die Fläche zwischen der Funktion und beiden Koordinatenachsen bestimmt. Natürlich ist in diesem Fall eine Grenze bereits bekannt - nämlich \(x=0\) (die begrenzende y-Achse). Die zweite Grenze ist die Nullstelle, hier \(x=2\). Das Integral ergibt eine Fläche von sechs Flächeneinheiten.