Die partielle Integration ist ein Verfahren, mit dem man Funktionen, die aus einem Produkt bestehen, Stück-für-Stück aufleiten kann (daher übrigens auch der Name "partielle" Integration: Man leitet nur "teilweise" auf). Es wird sozusagen die Produktregel rückwärts bearbeitet. Analog zu dieser setzt man auch stur in die partielle Integration ein, aber der Reihe nach...
Falls man ein Produkt zweier Funktionen \((u'\) und \(v)\) aufleiten muss, so kann man also \(u'\) aufleiten (es wird also zu \(u\)) und mit \(v\) multiplizieren, so dass man anschließend nur noch das Produkt von \(u\) und \(v'\) aufleiten muss.
Was das genau bringt sehen wir am besten an den Beispielen später - vorab noch die Herleitung mittels Produktregel.
Leitet man eine Funktion also partiell auf, so klappt das nur, wenn das \(v'\) irgendwann kein \(x\) mehr enthält und zum Faktor wird. Das "irgendwann" wird hier schon nach dem ersten Schritt erreicht, bei anderen Funktionen kann das allerdings auch erst später auftreten.
Zusammenfassung Partielle Integration
➤ Die partielle Integration ermittelt die Aufleitung einer Funktion die aus einem Produkt besteht.
➤ Sie basiert darauf, dass die Ableitung einer Funktion irgendwann zum Faktor wird (der kein \(x\) mehr enthält), so dass ohne weitere Regeln aufgeleitet werden kann.
➤ Damit das funktioniert, muss eine Funktion ganzrational sein (diese ist somit auch stets das \(v\)).
Zum Abschluss hier noch ein (nicht zentralabiturrelevantes) Beispiel, wie die partielle Integration durch einen Trick doch ein Produkt zweier Funktionen aufleiten kann, bei dem keiner der beiden Faktoren wegfällt!
Die partielle Integration trickst nämlich!