Wir wollen nun eine vollständige Funktionsuntersuchung zu einer ganzrationalen Funktionenschar durchführen. Es werden folgende Punkte behandelt, alle Berechnungen werden mit aufgeführt.
Wir wollen nun eine vollständige Funktionsuntersuchung zu einer ganzrationalen Funktionenschar durchführen. Es werden folgende Punkte behandelt, alle Berechnungen werden mit aufgeführt.
\(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\text{ }(k\gt0;\;k\epsilon\mathbb{R})\)
1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Schnittpunkte mit den Achsen
4. Extrempunkte
5. Wendepunkte
6. Grenzwertverhalten
7. Wertebereich
8. Graph
Na dann los!
\(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\) \(D(f)=\mathbb{R}\) | Bei ganzrationalen Funktionen (egal, ob Schar oder nicht) benötigen wir keine Einschränkung, wir dürfen alles einsetzen (ganzrationale Funktionen haben haben kein \(x\) im Nenner, unter der Wurzel oder im Logarithmus). Der Definitionsbereich ist somit \(\mathbb{R}\). |
\(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\) \(\Rightarrow{f}\text{ besitzt keine Symmetrie}\) | Bei ganzrationalen Funktionen läßt sich die Symmetrie an Hand der Exponenten (von \(x\)) ablesen. Hier hat \(f\) gerade und ungerade Exponenten, die Funktion besitzt also keine Symmetrie. Hinweis: Bei dieser Schar ist \(k\gt0\) gegeben. Wäre das nicht der Fall, so wäre die Funktion für \(k=0\) punktsymmetrisch (da das \(x^2\) hinten für \(k=0\) wegfällt). |
\(f_k(x)=0\) \(\Rightarrow{x}^3-\frac34kx^2=0\) \(\Leftrightarrow{x}^2(x-\frac34k)=0\) \(\Leftrightarrow{x}=0\vee{x}=\frac34k\) \(\Rightarrow{N}_{1}(0\mid0)\wedge{N}_2(\frac34k\mid0)\) \(\Rightarrow{N}_y(0\mid0)\) | Für die Schnittpunkte mit der x-Achse (~für die Nullstellen) setzen wir die Funktion gleich Null und lösen auf. Hier können wir \(x^2\) ausklammern, da das überall drin vorkommt. Nach dem Satz vom Nullprodukt setzen wir anschließend beide Faktoren gleich Null und erhalten die Lösungen (rechts noch \(\mid+\frac34k\)). Beachte, dass wir die Gleichung nach \(x\) auflösen müssen (und nicht nach \(k\)), denn wir suchen ja die Stellen (x-Werte), für die die Funktion Null wird. \(k\) ist nur der Scharparameter, wir behandeln ihn wie eine Zahl! Falls eine Nullstelle übrigens bei \(x=0\) ist, also \(N(0\mid0)\) lautet, dann muss man den y-Achsenabschnitt natürlich nicht (nochmal) berechnen. Hier wird natürlich auch die y-Achse durchstoßen. |
Ableitungen \(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\) \(\Rightarrow\)\(f_k'(x)=3x^2-2\cdot\frac34kx=3x^2-\frac32kx\) \(\Rightarrow{f}_k''(x)=6x-\frac32k\) Notwendige Bedingung \(f'(x)=0\Rightarrow3x^2-\frac32kx=0\) \(\mid\div3\) \(\Leftrightarrow{x}^2-\frac12kx=0\) \(\Leftrightarrow{x}(x-\frac12k)=0\) \(\Rightarrow{x}=0\vee{x}=\frac12k\) Hinreichende Bedingung \(f''(0)=6\cdot(0)-\frac32k=-\frac32k\lt0\Rightarrow{HP}\) \(f''(\frac12k)=6\cdot\frac12k-\frac32k=\frac32k\gt0\Rightarrow{TP}\) y-Wert (vom TP) \(f(\frac12k)=(\frac12k)^3-\frac34k\cdot(\frac12k)^2\) \(=\frac{1}{8}k^3-\frac{3}{16}\cdot{k}^3=-\frac{1}{16}k^3\) Angabe der Wendepunkte \(HP(0\mid0)\quad{TP}(\frac12k\mid-\frac{1}{16}k^3)\) | Für die Extremstellen benötigen wir die ersten beiden Ableitungen. Da \(x\) die Funktionsvariable ist, leiten wir nach \(x\) ab und behandeln \(k\) dementsprechend wie eine Zahl. Anschließend setzen wir die erste Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung) und lösen wieder nach \(x\) auf. Wir erhalten (durch Ausklammern) unsere Extremstellenkandidaten bei \(x=0\vee{x}=\frac12k\). Diese überprüfen wir nun mit der zweiten Ableitung (durch Einsetzen), sie ist bei \(x=0\) negativ (Hochpunkt) und bei \(x=\frac12k\) positiv (Tiefpunkt). Beachte hierbei unbedingt, dass bspw. \(f''(0)=-\frac32k\) negativ ist, weil \(k\gt0\) vorgegeben wurde! Für \(k\lt0\) wäre \(-\frac32k\) ja positiv (wir hätten einen Tiefpunkt) und für \(k=0\) wäre \(f''(0)\) gar gleich Null (keine Aussage möglich). Anschließend bestimmen wir noch den zugehörigen y-Wert von \(x=\frac12k\) durch Einsetzen in \(f\) (der Punkt \(N_1(0\mid0)\) ist ja bereits bekannt). Insgesamt hat die Funktion also zwei Extrempunkte. |
Ableitungen \(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\) \(\Rightarrow\)\(f_k'(x)=3x^2-2\cdot\frac34kx=3x^2-\frac32kx\) \(\Rightarrow{f}_k''(x)=6x-\frac32k\) \(\Rightarrow{f}_k'''(x)=6\) Notwendige Bedingung \(f''(x)=0\) \(\Rightarrow6x-\frac32k=0\) \(\Leftrightarrow{x}=\frac14k\) Hinreichende Bedingung \(f'''(\frac14k)=6\ne0\Rightarrow{WP}\) y-Wert \(f(\frac14k)=(\frac14k)^3-\frac34k(\frac14k)^2\) \(=\frac{1}{64}k^3-\frac{3}{64}k^3=-\frac{1}{32}k^3\) Angabe des Wendepunkt \(WP(\frac14k\mid-\frac{1}{32}k^3)\) | Für die Wendestellen setzen wir die zweite Ableitung gleich Null (notwendige Bedingung \(f''(x)=0\)) und lösen wieder nach \(x\) auf. Hier erhalten wir nur einen Wendestellenkandidaten bei \(x=\frac14k\). Die Überprüfung mit Hilfe der dritten Ableitung liefert \(f'''(\frac14k)=6\), was ungleich Null ist und somit den Wendepunkt beweist. Hier erhalten wir übrigens (anders als bei den Extremstellen) immer einen Wendepunkt, denn die dritte Ableitung ist unabhängig von \(k\) ungleich 0. Jedenfalls ermitteln wir noch den zugehörigen y-Wert durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion. |
\(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\) \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) | Bei ganzrationalen Funktionen ermitteln wir das Verhalten für große \(x\) anhand des \(x\) mit höchstem Exponenten (samt Vorfaktor), hier also anhand \(x^3\). Das strebt für \(x\to\infty\) gegen plus Unendlich und für \(x\to-\infty\) gegen minus Unendlich. Wir erhalten die Grenzwerte also unabhängig von \(k\) - es steht ja auch beim ungewichtigen \(x^2\). |
\(f_k(x)=x^3-\frac34kx^2\) \(\Rightarrow{W}(f)=\mathbb{R}\) | Aus den Grenzwerten geht hervor, dass die Schar (unabhängig von \(k\)) stets aus dem negativen Unendlichen kommt und nach plus Unendlich geht. Da keine Funktion der Schar unterbrochen wird (~da \(f_k\) immer stetig ist), kann jede Funktion also alle Zahlen annehmen, der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\). |
Bevor wir nun den Graphen der Funktionenschar zeichen noch der Hinweis, dass es den einen Graphen natürlich nicht gibt! Die Schar hat für verschiedene \(k\) ja auch verschiedene Lösungen - die Lage des Graphen ist immer unterschiedlich (allerdings mit ähnlichen Eigenschaften).
Um die Lage der Schar anzudeuten, werden meist einfach ein paar Werte für \(k\) eingesetzt, so dass man zumindest die Lage einiger Graphen der Schar kennt.
Natürlich setzt man die gewählten \(k\) einfach in seine Lösungen ein, nicht umsonst haben wir die ja alle in Abhängigkeit von \(k\) berechnet!
Ergebnisse der Schar | Ergebnisse für \(k=1\) | Ergebnisse für \(k=2\) | Ergebnisse für \(k=4\) |
\(D(f)=\mathbb{R}\) \(W(f)=\mathbb{R}\) \({N}_1(\frac34k\mid0)\quad{N}_2(0\mid0)=N_y\) \(H(0\mid0)\quad{T}(\frac12k\mid-\frac{1}{16}k^3)\) \(W(\frac14k\mid-\frac{1}{32}k^3)\) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) | \(D(f)=\mathbb{R}\) \(W(f)=\mathbb{R}\) \({N}_1(\frac34\mid0)\quad{N}_2(0\mid0)=N_y\) \(H(0\mid0)\quad{T}(\frac12\mid-\frac{1}{16})\) \(W(\frac14\mid-\frac{1}{32})\) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) | \(D(f)=\mathbb{R}\) \(W(f)=\mathbb{R}\) \({N}_1(\frac32\mid0)\quad{N}_2(0\mid0)=N_y\) \(H(0\mid0)\quad{T}(1\mid-\frac{1}{2})\) \(W(\frac12\mid-\frac{1}{4})\) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) | \(D(f)=\mathbb{R}\) \(W(f)=\mathbb{R}\) \({N}_1(3\mid0)\quad{N}_2(0\mid0)=N_y\) \(H(0\mid0)\quad{T}(2\mid-4)\) \(W(1\mid-2)\) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) |
Nun übertragen wir jeweils die Lösungen in ein Koordinatensystem und zeichnen die zugehörigen Graphen.
Im Bild sind die Punkte für \(k=4\) zu sehen, nach einem Klick werden aber die Graphen von \(f_1\), \(f_2\) und \(f_4\) zu sehen sein.
© Christian Wenning
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