Die Lösungsverfahren

Kapiteleintrag

Die wichtigste Grundlage der Analysis bilden die Lösungsverfahren. Sie sind sozusagen die wichtigsten Werkzeuge der Funktionentheorie: PQ-Formel, Ausklammern, Substitution und Polynomdivision. Unten findest du einen Überblick, wann du welches Verfahren anwenden musst. Wichtig ist hier, dass die vorliegende Gleichung unbedingt "gleich 0" ist. In diesem Fall geben die Exponenten von \(x\) und eine mögliche Konstante das benötigte Verfahren an.

Beispiele

1. \(2x^2-8=0\)

2. \(2x^2-8x=0\)

3. \(2x^2-8x+4=0\)

4. \(2x^3-8x^2+4x=0\)

5. \(2x^3-8x^2+4x+1=0\)

6. \(2x^4-8x^2+4=0\)

7. \(2x^3-16=0\)

Sobald die Gleichung keine Zahl (als addierte Konstante) enthält, so kann man \(x\) ausklammern (Bsp. 2 & 4). Bei \(x^2\), \(x\) und Zahl kann man mit PQ-Formel lösen (Bsp. 3), bei \(x^4\), \(x^2\) und Zahl per Substitution (Bsp. 6). Falls alle Verfahren fehlschlagen, benötigt man die Polynomdivision (Bsp. 5) - allerdings natürlich nur, wenn man nicht direkt ohne Verfahren lösen kann (Bsp. 1 & 7).

Die Lösungsverfahren in Worten

➤ Das Ausklammern

• Ein \(x\) ausklammern ist immer dann sinnvoll, wenn man keine Konstante (Zahl) in seiner Gleichung hat. Nach dem Ausklammern werden meist weitere Verfahren benötigt.

➤ Die pq-Formel

• Die PQ-Formel wird immer dann benötigt, wenn es in der vorliegenden Gleichung genau ein \(x^2\), ein \(x\) und eine Zahl gibt.

➤ Die Substitution

• Eine Substitution der Form \(x^n=z\) ist (in der Schule) immer dann sinnvoll, wenn man die PQ-Formel erhält. Dafür muss der Exponent des ersten \(x\) genau doppelt so groß sein, wie der des zweiten \(x\) und es muss eine Zahl vorhanden sein.

➤ Die Polynomdivision

• Die Polynomdivision ist so gesehen das "schlechteste" Verfahren zur Nullstellenberechnung. Sie sollte nur dann benutzt werden, wenn kein anderes Verfahren angewendet werden kann. Letzteres ist meist der Fall, wenn die Gleichung mindestens ein \(x^3\) und eine Zahl vorliegen hat.