Die Substitution

Kapiteleintrag

Das Wort Substitution stammt aus dem Lateinischen und bedeutet "Stellvertretung". Eine Substitution, wie zum Beispiel \(x^2=z\), heißt also: "Das \(z\) steht jetzt stellvertretend für \(x^2\)". Je nach Gleichung lassen sich verschiedenste Terme substituieren (\(x^n=z\), \(e^x=z\), \(\sin{x}=z\), \(g(x)=z\), ...) ich begnüge mich hier jedoch mit der ersten Variante \(x^n=z\). Sie wird zur Lösung sogenannter biquadratischen Gleichungen benutzt.

1. Beispiel

\(x^4-5x^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow(x^2)^2-5(x^2)+4=0\)

\(\Rightarrow{z}^2-5z+4=0\)

\(\Leftrightarrow{z}=1\vee{z}=4\)

\(\Rightarrow{x}^2=1\vee{x}^2=4\)

\(\Leftrightarrow{x}=1\vee{x}=-1\vee{x}=2\vee{x}=-2\)

Die biquadratische Gleichung läßt sich durch die Substitution \(x^2=z\) zu einer normalen quadratischen Gleichung vereinfachen, welche wir mit der PQ-Formel lösen können. Anschließend wird \(z\) wieder durch \(x^2\) resubstituiert, denn das \(z\) war ja nur stellvertretend. Hier erhalten wir vier Lösungen. Übrigens ist die zweite Zeile nur zum besseren Verständnis mit aufgeführt; du brauchst sie nicht.

2. Beispiel

\(x^6-7x^3-8=0\)

\(\Rightarrow{z}^2-7z-8=0\)

\(\Leftrightarrow{z}=-1\vee{z}=8\)

\(\Rightarrow{x}^3=-1\vee{x}^3=8\)

\(\Leftrightarrow{x}=-1\vee{x}=2\)

Hier läßt sich \(x^3\) sinnvoll zu \(z\) substituieren. Beachte, dass wir nach dem Resubstituieren die dritte Wurzel ziehen müssen. \(x^3=8\) hat somit nur eine Lösung - und nicht etwa auch \(x=-2\), denn \((-2)^3=-8\). Außerdem läßt sich die dritte Wurzel auch aus negativen Zahlen ziehen, weil \((-1)^3=-1\).

3. Beispiel

\(x^6-2x^5-8=0\)

\(\Rightarrow\) keine geeignete Substitution

Natürlich ist es nur dann sinnvoll eine Substitution einzusetzten, wenn dadurch die entstandene Gleichung einfacher zu lösen ist. Fast immer führt die Substitution in der Schule zu einer quadratischen Gleichung, die sich wie üblich leicht mit der PQ-Formel lösen lässt. Hier ist das nicht möglich.

Zusammenfassung Substitution

➤ eine Substitution ist eine Ersetzung von \(x^2\), \(x^3\), ..., \(x^n\) durch \(z\).

➤ sie ist immer dann sinnvoll, wenn in der Gleichung nur \(x^4\), \(x^2\) und Zahl, oder nur \(x^6\), \(x^3\) und Zahl, usw. vorkommen, wenn also der eine Exponent von \(x\) doppelt so groß ist, wie der andere.

➤ die Substitution führt zu einer quadratischen Gleichung, die man wie üblich mit der PQ-Formel löst.