e-Ausklammern

Kapiteleintrag

Analog zum \(x\) Ausklammern, ist es ebenso wichtig, \(e^x\), bzw. sogar jede e-Funktion ausklammern zu können. Auf diese Weise stellt man nämlich stets ein Produkt her, dessen einer Faktor die e-Funktion ist. Wendet man schließlich den Satz vom Nullprodukt an, so fällt die e-Funktion direkt weg, denn sie kann nicht Null werden. Man erhält dann meist eine ganzrationale Gleichung.

1. Beispiel

\(xe^x-4e^x=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^x\cdot(x-4)=0\)

\(\Rightarrow{e}^x=0\vee{x}-4=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=4\)

Da \(e^x\) in jedem Summanden vorkommt, klammern wir das aus. Eigentlich müssten wir jetzt auch \(e^x=0\) untersuchen, die e-Funktion ist aber nie Null und die Gleichung fällt somit weg. Rechts erhalten wir \(x=4\).

2. Beispiel

\(2x^2e^{-x}-8e^{-x}=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{-x}\cdot(2x^2-8)=0\)

\(\Rightarrow{e}^{-x}=0\vee2x^2-8=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=-2\vee{x}=2\)

Hier wird \(e^{-x}\) ausgeklammert. Die Rechnung funktioniert analog: Nach dem Ausklammern setzten wir nach dem Satz vom Nullprodukt die einzelnen Faktoren gleich Null, wobei der e-Teil wieder direkt wegfällt ("\(e\) hoch egal was ist nie Null!"). Diesmal muss rechts noch \(\mid+8\), \(\mid\div2\) und \(\mid\sqrt{}\) gerechnet werden!

Natürlich kann man \(e\) nur dann ausklammern, wenn der Exponent der e-Funktion überall gleich ist.

3. Beispiel

\(4xe^{-x^2+x}+2e^{x+2}=0\)

Wegen der unterschiedlichen Exponenten von \(e\) läßt sich hier nichts sinnvoll ausklammern.

4. Beispiel

\(2xe^{-x+3}-(x+6)e^{-x+3}=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{-x+3}\cdot[2x-(x+6)]=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{-x+3}(x-6)=0\)

\(\Leftrightarrow{x}=6\)

Der Ausdruck \(e^{-x+3}\) kommt in jedem Summanden vor, wir klammern ihn aus. Nach dem SvN fällt die e-Funktion wieder weg und wir erhalten rechts die Lösung \(x=6\).

Zusammenfassung e-Ausklammern

➤ Genau wie beim x-Ausklammern lassen sich auch e-Funktionen ausklammern.

➤ Man kann \(e\) nur ausklammern, wenn die Exponenten der e-Funktion überall gleich sind.

➤ Nach dem Ausklammern fällt die e-Funktion stets weg (sie kann nicht 0 werden) und es muss nur der ganzrationale Teil gelöst werden.

Nützliches

zum Online-Test

Musterbeispiel Nr. 1

\({x}\cdot{e}^{{x}}+2{e}^{{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{{x}}\cdot({x}+2)=0\)

\(\Rightarrow{e}^{{x}}=0\vee{x}+2=0\)

\(\Rightarrow{e}^{{x}}\ne0\vee{x}=-2\)

\(\Rightarrow{x}=-2\)

Diese Gleichung enthält in jedem Summanden die e-Funktion, also klammern wir diese aus.

Anschließend setzen wir die Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich \(0.\)

Da die e-Funktion nicht \(0\) werden kann, erhalten wir nur rechts eine Lösung.

Musterbeispiel Nr. 2

\({x}^{2}\cdot{e}^{2{x}}-{e}^{2{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow{e}^{2{x}}\cdot({x}^{2}-1)=0\)

\(\Rightarrow{e}^{2{x}}\ne0\vee{x}^{2}-1=0\)

\(\Rightarrow{x}^{2}=1\)

\(\Rightarrow{x}=1\vee{x}=-1\)

Diese Gleichung enthält in jedem Summanden \({e}^{2{x}}\) \(-\) wir klammern das aus.

Nachdem wir die Faktoren einzeln gleich \(0\) gesetzt haben, fällt die e-Funktion wie immer weg (auch \({e}^{2{x}}\) kann nicht \(0\) werden) \(-\) und wir müssen nur den anderen Faktor \(0\) setzen.

Hier lösen wir diesen noch durch Wurzelziehen auf und erhalten zwei Lösungen.