Tangenten sind Geraden, die die Funktion an einer bestimmten Stelle berühren (lat.: tangere, berühren). Anders gesagt haben Tangenten die gleiche Steigung wie die Funktion (sonst würden sie \(f\) ja schneiden).
Um eine Tangente aufzustellen, können wir die Steigung also schnell bestimmen, indem wir an besagter Stelle (hier bei \(x=1\)) einfach die Steigung von \(f\) ermitteln, es ist dann die Tangentensteigung (also das \(m\) von \(t(x)=mx+n\), der allgemeinen Geradengleichung).
Und womit bestimmen wir Steigungen bei Funktionen? Richtig, mit der Ableitung!
Da wir die zugehörige Steigung im Prinzip also direkt angeben können, fehlt zur vollständigen Angabe der Tangente nurnoch der y-Achsenabschnitt (das \(n\)).
Gut, dass wir neben der gleichen Steigung auch wissen, dass Tangente und \(f\) bei \(x=1\) den gleichen Funktionswert haben - sie gehen durch den gleichen Punkt (bei uns \(P(1\mid3)\)). Diesen setzen wir in \(t\) ein und lösen nach \(n\) auf.
Tangente an \(f\) bei \(x=x_t\)
\(t(x)=mx+n\text{, wobei}\)
\(m=f'(x_t)\)
Man ermittelt \(n\), indem man \(x\) und \(y\) des Berührpunkts einsetzt und auflöst.
Okay, dann haben wir alles, um unsere Beispieltangente zu bestimmen!
Falls der zugehörige y-Wert des Berührpunkts übrigens nicht angegeben ist, so können wir ihn mit Hilfe von \(f\) natürlich auch selbst berechnen (einsetzen). Hier wäre \(f(1)=-1^2+4=3\), wir erhalten natürlich auch den Punkt \(P(1\mid3)\).
Rezept zur Bestimmung einer Tangente
➤ Bestimme die Ableitung der Ausgangsfunktion.
➤ Setze die gegebene Stelle in \(f'\) ein. Du erhälst die Steigung der Tangente (das \(m\)).
➤ Bestimme den zugehörigen y-Wert, indem du die Stelle in die Ausgangsfunktion \(f\) einsetzt.
➤ Setze \(x\), \(m\) und \(y\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y=mx+n\) ein und löse nach \(n\) auf.
➤ Gib die vollständige Tangentengleichung an - setze also \(m\) und \(n\) in \(t(x)=mx+n\) ein.
PS: Falls wie bei uns oben von vorneherein der komplette Punkt gegeben ist, kann man sich Schritt 3 natürlich sparen. Wir kennen \(y\) dann ja schon!
Okay, das war zu leicht, bestimmen wir an \(f\) noch eine zweite Tangente, bei \(x=2\).