Das Drachenviereck

Kapiteleintrag

Das Drachenviereck

\(A=\frac{d\cdot{e}}2\)

\(U=2a+2b\)

Wir beginnen direkt mit einem Beispiel.

1. Beispiel

\(A=\frac{d\cdot{e}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{7\cdot6}2=21m^2\)

\(U=2a+2b\)

\(\Rightarrow{U}=2\cdot5,8+2\cdot3,6=18,8m\)

Da alle Variablen für die Formeln für Fläche und Umfang gegeben sind, setzen wir sie einfach ein und erhalten sofort die gesuchten Größen.

Anmerkung:
Bei Drachenvierecken läßt sich, sofern wie hier beide Diagonalen bekannt sind, die eine schräge Seite (etwa a) aus der anderen berechnen. Da sich die Diagonalen rechtwinklig schneiden, bilden sie zusammen mit den schrägen Seiten rechtwinklige Dreiecke, in denen Pythagoras gilt (Maus übers Bild).

Leider wird beim Drachenviereck aber nur eine Diagonale halbiert, so dasss von den beiden Dreiecken lediglich ein Diagonalenteilstück \(e_2=\frac{e}2=3m\) bekannt ist. Anders gesagt: Da wir nicht wissen, wie e die Diagonale d teilt, kennen wir dessen Teilstücke nicht.

Ist nun aber eine schräge Seite (etwa \(a=5,8m\)) bekannt, lassen sich die Teilstücke via Pythagoras berechnen. Nämlich

\(d_1^2+\left(\frac{e}2\right)^2=a^2\)

\(\Rightarrow{d}_1^2+3^2=5,8^2\)

\(\Leftrightarrow{d_1}=5m\)

\(\Rightarrow{d_2}=7-5=2m\)

\(d_2^2+\left(\frac{e}2\right)^2=b^2\)

\(\Rightarrow{2}^2+3^2=b^2\)

\(\Leftrightarrow{b}\approx3,6m\)

Lange Rede, wenig Sinn: Um die schrägen Seiten berechnen zu können, muss entweder das Teilverhältnis der Diagonalen, oder bereits eine der beiden schrägen Seiten angegeben sein.

2. Beispiel

\(A=\frac{d\cdot{e}}2\)

\(\Rightarrow{60}=\frac{12\cdot{e}}2=60m^2\)

\(\Leftrightarrow{e}=10m\)

Nebenrechnungen

\(4^2+5^2=b^2\)

\(\Leftrightarrow{b}\approx6,4m\)

\(8^2+5^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow{a}\approx9,4m\)

Umfang

\(U=2a+2b\)

\(\Rightarrow{U}=2\cdot6,4+2\cdot9,4=31,6m\)

Da sowohl die Fläche, als auch eine Diagonale angegeben sind (\(d=d_1+d_2=8+4=12m\)), können wir die andere Diagonale durch Umstellen der Flächeninhaltsformel berechnen. Da diese Diagonale bei Drachenvierecken halbiert wird, kennen wir auch die beiden Teilstücke \(e_1=e_2=5m\).

Für den Umfang benötigen wir die schrägen Seitenlängen - diese können wir jeweils via Pythagoras berechnen (es sind die Hypotenusen der rechtwinkligen Dreiecke mit \(e_2\) und \(d_1\), bzw. \(d_2\) als Katheten).

Diese setzen wir nun in die Umfangsformel ein und sind fertig.

Wenn sich bei einem Drachenviereck beide Diagonalen halbieren, handelt es sich um eine Raute. Ist das nämlich der Fall, so sind alle Außenseiten gleich lang. Zwar könnte man den Flächeninhalt und den Umfang einer Raute auch mit den Formeln für Drachenvierecke berechnen, oft werden dazu aber eigene Formeln angegeben.

Die Raute

\(A=\frac{d\cdot{e}}2\)

\(U=4a\)

Auch hierzu noch ein schnelles Beispiel.

1. Beispiel

\(A=\frac{d\cdot{e}}2\)

\(\Rightarrow{A}=\frac{8\cdot6}2=24m^2\)

Nebenrechnung

\(\left(\frac{d}2\right)^2+\left(\frac{e}2\right)^2=a^2\)

\(\Rightarrow3^2+4^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow{a}=5m\)

Umfang

\(U=4a\)

\(\Rightarrow{U}=4\cdot5=20m\)

Mit den bekannten Diagonalen ist die Fläche kein Problem.

Für den Umfang benötigen wir die Länge der (gleichgroßen) Seiten - diese lassen sich via Pythagoras ermitteln: Da sich die Diagonalen in einer Raute gegenseitig halbieren, sind im zugehörigen Dreieck beide Katheten bekannt (Maus übers Bild).