Bruchaddition und -Subtraktion

Kapiteleintrag

Addieren und Subtrahieren von Brüchen | 1. Teil

\(\frac27+\frac37=\frac57\)

\(\frac{9}{11}-\frac{4}{11}=\frac{5}{11}\)

Was sind 2 Euro plus 3 Euro? Logisch, 5 Euro.

Wie wir im Kapitel Brüche gelernt haben, gibt der Nenner an, um welches Objekt es sich handelt (ein Siebtel), und der Zähler, wieviele dieser Objekte vorliegen. Gesprochen lautet die Aufgabe hier also: "Was sind 2 Siebtel plus 3 Siebtel?". Logisch, 5 Siebtel.

Das Subtrahieren funktioniert natürlich genauso: 9 Objekte minus 4 Objekte sind 5 Objekte, egal, ob es sich um Euro, Äpfel oder eben um Elftel handelt.

Anmerkung: In der Schule werden bei Brüchen meist für jede Rechnung eigene Rezepte vorgelegt - hier wäre das: "Zwei Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält!". Ich werde auf Rezepte dieser Art größtenteils verzichten - beim Zusammenrechnen von Äpfeln hat uns auch noch niemand gesagt: "Objekte werden addiert, indem man die Anzahl zusammenrechnet und den Namen beibehält."

Was aber machen wir, wenn zwei verschiedene Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen?

Addieren und Subtrahieren von Brüchen | 2. Teil

\(\frac12+\frac14=\text{ ?}\)

\(\frac32-\frac24=\text{ ?}\)

Jetzt haben wir den Salat - wir sollen zwei verschiedene Objekte verrechnen: Hälften und Viertel. Dass das nicht ohne weiteres geht, merken wir z.B. auch bei Währungen: Was ist 1 Euro plus 1 Dollar?

Um verschiedene Währungen miteinander verrechnen zu können, muss man sie erst in eine gemeinsame Währung umrechnen - man kann schlicht und einfach nur gleiche Objekte zusammenzählen. Bei Brüchen geht das genauso, wir können nur gleichnamige Brüche verrechnen - Brüche mit gleichem Nenner.

Und wie machen wir Brüche gleichnamig? Durch Kürzen und Erweitern.

Addieren und Subtrahieren mit Kürzen und Erweitern

\(\frac12+\frac14=\frac{1\cdot2}{2\cdot2}+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34\)

\(\require{cancel}\frac32-\frac24=\frac32-\frac{\cancel{2\div2}^{1}}{\cancel{4\div2}_2}=\frac32-\frac12=\frac22\text{ }(=\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1}=1)\)

Im ersten Beipsiel können wir die Brüche gleichnamig machen, indem wir die Halben mit 2 erweitern und diese so auch auf Viertel bringen.

Beim zweiten Beispiel können wir die beiden Viertel hinten kürzen und erhalten dort eine Hälfte, die wir nun mit den drei Hälften vorne verrechnen können.

Addieren und Subtrahieren von Brüchen | 3. Teil

\(\frac12+\frac13=\text{ ?}\)

\(\frac12-\frac13=\text{ ?}\)

Eine letzte Schwierigkeit ergibt sich, wenn man keinen der Brüche druch Kürzen oder Erweitern direkt mit dem anderen Bruch gleichnamig machen kann (wir können Hälften nicht auf Drittel bringen). Um etwas zusammenrechnen zu können, muss es sich aber um die gleichen Objekte handeln - was also tun?

Hier gibt es einen kleinen Trick, wie man alle Brüche gleichnamig machen kann: Man erweitert die Brüche jeweils mit dem anderen Nenner - die neuen Brüche sind dann immer gleichnamig!

Addieren und Subtrahieren mit gegenseitigem Erweitern

\(\frac12+\frac13=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}+\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac36+\frac26=\frac56\)

\(\frac12-\frac13=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}-\frac{1\cdot2}{3\cdot2}=\frac36-\frac26=\frac16\)

Also erweitern wir den linken Bruch mit dem rechten Nenner (mit 3), und den rechten mit dem linken Nenner (mit 2). Wir erhalten so immer gleichnamige Brüche - hier Sechstel -, da auf diese Weise im Nenner ja einmal \(2\cdot3\) und einmal \(3\cdot2\) gerechnet werden muss - beides ergibt \(6\).

Wie gesagt funktioniert der Trick immer - z.B. bei Fünfteln und Siebteln (\(5\cdot7=35\) und \(7\cdot5=35\)) - oft kann man aber einfacher Erweitern, um nicht so große Nenner zu erhalten.

Addieren und Subtrahieren mit geeignetem Erweitern

\(\frac14+\frac16=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}+\frac{1\cdot2}{6\cdot2}=\frac3{12}+\frac4{12}=\frac7{12}\)

\(\frac38-\frac3{10}=\frac{3\cdot5}{8\cdot5}-\frac{3\cdot4}{10\cdot4}=\frac{15}{40}-\frac{12}{40}=\frac3{40}\)

\(\frac16+\frac2{15}=\frac{1\cdot5}{6\cdot5}+\frac{2\cdot2}{15\cdot2}=\frac{5}{30}+\frac{4}{30}=\frac9{30}=\frac3{10}\)

Statt Viertel und sechstel gegenseitig zu erweitern und auf \(4\cdot6=24\) Vierundzwanzigstel zu bringen, können wir sie besser auf Zwölftel bringen, um nicht mit so großen Zahlen rechnen zu müssen. Allgemein bringt man die Brüche am besten immer auf das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

8 und 10 haben das kgV 40, also erweitern wir die Achtel mit 5 und die Zehntel mit 4.

Das kgV von 6 und 15 ist 30, wir erweitern die Brüche also auf Dreißigstel. Hier läßt sich das Ergebnis noch kürzen, was wir selbstverständlcih wie immer tun.

Zusammenfassung Addieren und Subtrahieren von Brüchen

➤ Es lassen sich nur gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren!

➤ Wenn die zu berechnenden Brüche nicht gleichnamig sind, so muss dies zuvor durch geeignetes Erweitern (oder Kürzen) nachgeholt werden. Dazu kann man die Brüche immer gegenseitig erweitern - besser bringt man sie allerdings auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.