Da wir Brüche bereits mit ganzen Zahlen multiplizieren, bzw. durch ganze Zahlen dividieren können, läßt sich das Multiplizieren zweier Brüche folgendermaßen herleiten:
\(\frac23\cdot\frac45=?\)
Da wir Brüche bereits mit ganzen Zahlen multiplizieren, bzw. durch ganze Zahlen dividieren können, läßt sich das Multiplizieren zweier Brüche folgendermaßen herleiten:
Mit Herleitung \(\frac23\cdot\frac45=\frac23\cdot4\div5=\frac{2\cdot4}3\div5=\frac{2\cdot4}{3\cdot5}=\frac8{15}\) Ohne Herleitung \(\frac23\cdot\frac45=\frac{2\cdot4}{3\cdot5}=\frac8{15}\) | Der Trick ist, dass wir statt \(\cdot\frac45\) einfach \(\cdot4\div5\) schreiben - der Bruchstrich bedeutet ja soviel wie dividiert durch. Nun sollen die zwei Drittel also mit 4 multipliziert und dann durch 5 geteilt werden. |
Im Endeffekt werden Brüche also miteinander multipliziert, indem man sowohl die beiden Zähler, als auch die beiden Nenner miteinander multipliziert. Das halten wir fest:
Da aus Produkten beliebig gekürzt werden darf, ist es beim Multiplizieren zweier Brüche sinnvoll, dies vor der eigentlichen Berechnung zu tun - denn nach dem Multiplizieren sieht man die Faktoren nicht mehr so gut.
Ohne vorheriges Kürzen (schlechte Variante) \(\frac{22}{17}\cdot\frac{17}{55}=\frac{22\cdot17}{17\cdot55}=\frac{374}{935}=??\) Mit Kürzen (gute Variante) \(\require{cancel}\frac{22}{17}\cdot\frac{17}{55}=\frac{\cancel{22}^2\cdot\cancel{17}_1}{\cancel{17}^1\cdot\cancel{55}_5}=\frac21\cdot\frac15=\frac{2\cdot1}{1\cdot5}=\frac25\) | Oben werden die Brüche stur nach dem Rezept multipliziert - man erhält das unschöne (weil kürzbare) Ergebnis. Wer aber soll hier erkennen, womit man diesen Bruch kürzen kann?! Unten dann der schöne, einfache Weg: Aus Produkten darf man beliebig kürzen - hier läßt sich also die 17 vollständig, und die 22 und 55 mit der Zahl 11 kürzen. Die eigentliche Multiplikation ist nun kinderleicht: \(2\cdot1\) und \(1\cdot5\). Obendrein ist das Ergebnis immer vollständig gekürzt. PS: \(\frac{374}{935}\) läßt sich durch \(187\) kürzen - falls jemand kontrollieren möchte, ob die Ergebnisse übereinstimmen :). |
Wir merken uns also, dass wir vor dem Multiplizieren stets soweit wie möglich kürzen. Sofern wir das gewissenhaft machen, läßt sich das Ergebnis übrigens auch nicht mehr kürzen und ist sofort in der richtigen Form vorhanden. Betrachetn wir dazu noch ein paar Beispiele.
\(\require{cancel}\frac3{16}\cdot\frac89=\frac{\cancel{3}^1}{\cancel{16}_2}\cdot\frac{\cancel{8}^1}{\cancel{9}_3}=\frac12\cdot\frac13=\frac16\) | Im ersten Beispiel müssen wir nach dem Kürzen nurnoch \(\frac12\) mal \(\frac13\) rechnen - das Ergebnis ist also \(\frac16\). Da wir bereits vor dem Multiplizieren alles gekürzt haben, ist das Ergebnis sofort korrekt - da nicht weiter kürzbar. Im zweiten Beispiel wurde vergessen, die 6 und die 4 durch zwei zu kürzen - daher läßt sich das Ergebnis auch noch durch diese 2 kürzen. Beim dritten Beispiel wurden alle drei Faktoren ordentlich gekürzt - das Ergebnis ist sofort unkürzbar und somit richtig und schön. |
© Christian Wenning
Was ist das KeinPlanPrinzip?