Lineare Gleichungssysteme

Kapiteleintrag

Eine Gleichung, die nur eine Variable enthält, kann man nach dieser umstellen, um sie zu berechnen. Weiß man zum Beispiel, dass zwei Bonbons zusammen 20 Cent kosten, so läßt sich der Preis für ein Bonbon berechnen:

1. Beispiel

Sei \(x\) der Preis für ein Bonbon

\(2x=0{,}20\;\;|\div2\)

\(\Leftrightarrow{x}=0,10\)

Um den Preis für ein Bonbon auszurechnen, kann man die Gleichung nach x auflösen.

Ein Bonbon kostet also 10 Cent.

Bei Gleichungen, die mehrere Variablen beinhalten klappt das nicht. Weiß man zum Beispiel, dass Bonbons doppelt so teuer sind wie ein Kaugummi, so kann man weder den Preis für Bonbons, noch für Kaugummis bestimmen:

2. Beispiel

Sei \(x\) der Preis für ein Bonbon und \(y\) der Preis für ein Kaugummi

\(x=2y\)

Da diese Gleichung zwei Unbekannte enthält, bringt es uns nichts, nach einer Variablen umzuformen. Wir können den Preis von Bonbons, bzw. Kaugummis lediglich in Abhängigkeit des anderen Preises angeben.

Um die Preise berechnnen zu können, brauchen wir eine weitere Information, etwa: "Drei Kaugummis kosten zusammen 1,50€". Jetzt können wir erst den Preis eines Kaugummis und anschließend mit unserer zweiten Information von oben den Preis eines Bonbons berechnen:

2. Beispiel | Fortsetzung

Sei \(x\) der Preis für ein Bonbon und \(y\) der Preis für ein Kaugummi

\(\begin{vmatrix}{x=2y}\\{3y=1{,}50}\end{vmatrix}\begin{matrix}\\\\\\|\div3\end{matrix}\)

\(\begin{vmatrix}{x=2y}\\{y=0{,}50}\end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix}{x=2\cdot0{,}50}\\{y=0{,}50}\end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix}{x=1{,}00}\\{y=0{,}50}\end{vmatrix}\)

Mit Hilfe der zweiten Information können wir in der unteren Gleichung den Preis für ein Kaugummi ausrechnen.

Danach können wir diesen in die obere Gleichung einsetzen und auch den Preis für ein Bonbon bestimmen.

Wir haben ein erstes Gleichungssystem gelöst!

Wie man sieht, läßt sich eine Variable mit Hilfe von einer Gleichung lösen. Bei zwei Variablen benötigt man zwei Gleichungen.

Das gilt auch allgemein, so benötigt man immer genauso viele Gleichungen, wie Unbekannte (bei drei Variablen also drei Gleichungen, bei vier Variablen vier Gleichungen, etc.).

Da man alle Gleichungen zur Berechnung der Lösungen braucht, schreibt man sie untereinander und macht um die Zusammengehörigkeit zu verdeutlichen links und rechts wie in unserem Beispiel Striche dran.
Da ein solches System aus mehreren Gleichungen besteht, nennt man es Gleichungssystem.

Ein Gleichungssystem

\(\begin{vmatrix}{4x+y-z=0}\\{x^2-y^z=3}\\{\frac1{x}-\frac{y}{2}=z^3}\end{vmatrix}\)

Dieses Gleichungssystem enthält drei Variablen und drei Gleichungen, man könnte die Variablen also berechnen.

Hier sind die Gleichungen allerdings nicht linear, denn manche Variablen haben Exponenten wie etwa \(z^3\) in der letzten Zeile.

Das Lösen solcher nicht linearer Gleichungssysteme kann mitunter recht kompliziert werden - gut, dass in der Schule nur Lineare Gleichungssysteme (LGS) genutzt werden (Ausnahme ist der Spezialfall beim Aufstellen von exponentiellen Funktionen).

Ein lineares Gleichungssystem

\(\begin{vmatrix}{4x+y-z=0}\\{x-y+z=3}\\{2x-3y+5z=3}\end{vmatrix}\)

Dieses Gleichungssystem enthält drei Variablen und drei lineare Gleichungen (keine Variable hat einen Exponenten, bzw. ist der Exponent jeweils 1) - es ist ein Lineares Gleichungssystem.

Um ein LGS zu lösen, gibt es insgesamt vier Lösungsverfahren: Einsetz-, Gleichsetz-, Additions- und Subtraktionsverfahren. Jedes dieser Lösungsverfahren hat bestimmte Vorteile, so dass man am besten alle vier beherrscht. Die wohl wichtigsten Verfahren sind Additions- und Subtraktionsverfahren, da diese insbesondere bei mehr als zwei Variablen mit Abstand am schnellsten funktionieren.

Zusammenfassung LGS

➤ Um mehrere Unbekannte zu berechnen, benötigt man genauso viele Gleichungen wie Unbekannte. Schreibt man alle Gleichungen untereinander, so erhält man ein zugehöriges Gleichungssystem.

➤ Besteht das Gleichungssystem nur aus linearen Gleichungen, so nennt man es Lineares Gleichungssystem.

➤ Lineare Gleichungssysteme können mit Hilfe des Einsetz-, Gleichsetz-, Additions- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.