Der Vektor

Bevor wir uns Vektoren widmen, betrachten wir noch einmal einen ganz normalen Punkt im (2-dimensionalen) Koordinatensystem.

Anders als Punkte, beschreiben Vektoren nicht eine Stelle im Koordinatensystem, sondern eine Bewegung, bzw. eine Verschiebung.

Startet man diesen Vektor wie im Bild zu sehen im Ursprung, so landet man in \(P(3|2)\). Vektoren, die im Ursprung starten, nennt man Ortsvektoren, so ist der eingezeichnete Vektor \(\vec{p}\) der Ortsvektor des Punktes \(P\) (man schreibt zur Verdeutlichung auch \(\vec{OP}\)).

Da Vektoren aber lediglich die Bewegung angeben, weiß man nicht, wo man einen beliebigen Vektor starten soll - alle Vektoren im folgenden Bild sind also identisch zu \(\vec{p}\).

Besonders hilfreich (und relevant fürs Abitur) sind dreidimensionale Vektoren, also Vektoren, die zusätzlich zur x- und y-Koordinate noch eine dritte, z-Koordinate besitzen. Genau wie zweidimensionale Vektoren Bewegungen in der Ebene beschreiben, läßt sich eine Bewegung im Raum durch dreidimensionale Vektoren angeben.

Zwar benötigt man im Abiur nur höchstens dreidimensionale Vektoren - die Mathematik kennt aber auch höherdimensionale Vektoren, also Vektoren, die Bewegungen in 4-, 5-, n-dimensionalen Räumen angeben. Dazu muss man einem Vektor einfach weitere Koordinaten anhängen. Im folgenden Bild etwa wird der vierdimensionale Vektor \(\vec{p}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}\) dargestellt.

Kleiner Scherz, natürlich kann man vier-, bzw. höherdimensionale Vektoren nicht mehr ohne weiteres grafisch darstellen (man könnte die vierte Koordinate höchstens als Zeit auffassen oder ähnliches) - eine vierte Achse jedenfalls läßt sich nicht sinnvoll einzeichnen.

Das Tolle an Vektoren allerdings ist, dass man mit denselben Regeln die man zu dreidimensionalen Vektoren lernt, auch höherdimensionale Vektoren behandeln kann. Die Mathematik kann also vier Dimensionen - nur wir Menschen können uns das nicht mehr grafisch vorstellen.