Wir wollen nun eine vollständige Funktionsuntersuchung zu einer gebrochenrationalen Funktion durchführen. Es werden folgende Punkte behandelt, alle Berechnungen werden mit aufgeführt.
Wir wollen nun eine vollständige Funktionsuntersuchung zu einer gebrochenrationalen Funktion durchführen. Es werden folgende Punkte behandelt, alle Berechnungen werden mit aufgeführt.
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}\)
1. Definitionsbereich
2. Polstellen
3. Symmetrie
4. Schnittpunkte mit den Achsen
5. Extrempunkte
6. Wendepunkte
7. Grenzwertverhalten
8. Wertebereich
9. Graph
Na dann los!
Nebenrechnung \(n(x)=0\Leftrightarrow{x}^2-4=0\) \(\Leftrightarrow{x}=2\vee{x}=-2\) \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) | Bei gebrochenrationalen Funktionen darf der Nenner nicht Null werden (da man durch Null nicht teilen kann). Wir bestimmen also per Nebenrechnung diejenigen \(x\), für die der Nenner Null wird und schließen sie anschließend aus. |
\(l\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\infty\wedge{r}\lim\limits_{x\to-2}f(x)=-\infty\) \(\Rightarrow{x}=-2\;\,\text{ist}\;\,\text{Polstelle}\;\,\text{(mit}\;\;\text{VZW)}\) \(l\lim\limits_{x\to2}f(x)=-\infty\wedge{r}\lim\limits_{x\to2}f(x)=\infty\) \(\Rightarrow{x}=2\;\,\text{ist}\;\,\text{Polstelle}\;\,\text{(mit}\;\;\text{VZW)}\) | Die einzigen Polstellenkandidaten sind hier \(-2\) und \(2\) - die Definitionslücken. Aus den Limiten geht hervor, dass beides tatsächlich Polstellen sind. Das läßt sich auch und einfacher per Nullstellenvergleich zeigen: Beide Lücken sind keine Nullstellen des Zählers und somit Polstellen! |
Test auf Achsensymmetrie \(f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2-4}\) \(\Leftrightarrow{f}(-x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}\) \((=f(x))\) \(\Rightarrow{f}\;\,\text{ist}\;\,\text{achsensymmetrisch}\) | Da die Funktion nicht ganzrational ist, müssen wir die Symmetrie mit Hilfe der üblichen Symmetrietests bestimmen. Hier ist \(f(-x)=f(x)\), die Funktion ist also achsensymmetrisch. |
\(f(x)=0\) \(\Rightarrow{x}^2-1=0\Leftrightarrow{x}=\pm1\) \(\Rightarrow{N}_1(1\mid0)\), \(N_2(-1\mid0)\) | Für die Nullstellen setzen wir wie immer die Funktion selbst gleich Null - hier brauchen wir aber nur den Zähler nullsetzen. Dieser hat die Lösungen \(x=1\vee{x}=-1\), es ergeben sich die Nullstellen. |
\(f(0)=\frac{0^2-1}{0^2-4}=\frac14\Rightarrow{N}_y(0\mid\frac14)\) | Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird mit \(f(0)\) ermittelt, wir erhalten \(N_y(0\mid\frac14)\). |
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}\) \((=\frac{u}{v})\) \(\Rightarrow{f}'(x)=\frac{2x\cdot(x^2-4)-(x^2-1)\cdot2x}{(x^2-4)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}'(x)=\frac{2x^3-8x-(2x^3-2x)}{(x^2-4)^2}\) \(\Leftrightarrow{f}'(x)=\frac{-6x}{(x^2-4)^2}\) \(\Rightarrow{f}''(x)=\frac{-6\cdot(x^2-4)^2-(-6x)\cdot2(x^2-4)\cdot2x}{(x^2-4)^4}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{-6\cdot(x^2-4)-(-6x)\cdot2\cdot2x}{(x^2-4)^3}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{-6x^2+24+24x^2}{(x^2-4)^3}\) \(\Leftrightarrow{f}''(x)=\frac{18x^2+24}{(x^2-4)^3}\) | Da die Ableitungen einer gebrochenrationalen Funktion mit Hilfe der Quotientenregel bestimmt wird, ermitteln wir die Ableitungen in einem eigenen Unterpunkt. Beim Ableiten setzen wir eigentlich nur in die Quotientenregel ein, hier ist \(u=x^2-1\) und \(v=x^2-4\). damit sind \(u'\) und \(v'\) beide gleich \(2x\). Nach dem Einsetzen (lassen wir den Nenner unbedingt stehen!) fassen wir den Zähler noch durch Ausmultiplizieren zusammen. Es empfiehlt sich wegen der Minusklammer, erst nur auszumultiplizieren und anschließend die Minusklammer aufzulösen (Vorzeichen umdrehen). Die zweite Ableitung funktioniert natürlich analog: Jetzt ist \(u=-6x\), damit \(u'=-6\), und \(v=(x^2-4)^2\). Für \(v'\) braucht's zusätzlich die Kettenregel, denn \(x^2-4\) ist eine innere Funktion (und das hoch \(2\) damit die Äußere). Nach Kettenregel ist jedenfalls \(v'=2(x^2-4)\cdot2x\) (die \(2x\) hinten bilden die innere Ableitung). Nun wird wieder alles eingesetzt und wie üblich kommt der Ausdruck \((x^2-4)\) sowohl in jedem Summandem des Zählers, als auch im Nenner vor - wir kürzen ihn (oben aus jedem Summanden, unten nur einmal). Anschließend wird wieder durch Ausmultiplizieren und Klammerauflösen zusammengefasst. Die dritte Ableitung (die nur zur Überprüfung möglicher Wendestellen dient) hab' ich mir hier gespart - mehr dazu in dieser Untersuchung bei den Wendestellen ;). |
\(f'(x)=0\) \(-6x=0\) \(\Leftrightarrow{x}=0\) Hinreichende Bedingung \(f''(0)=\frac{18\cdot0^2+24}{(0^2-4)^3}\) \(f''(0)=\frac38\gt0\Rightarrow{TP}\) y-Wert \(f(0)=\frac14\) Angabe des Extrempunkts \(TP(0\mid-\frac14)\) | Nach notwendiger Bedingung muss die erste Ableitung Null sein, wir setzen sie also gleich Null und lösen auf (wir setzen natürlich wieder nur den Zähler der Ableitung gleich Null). Unser Extremstellenkandidat ist \(x=0\), diesen überprüfen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung. Da \(f''(0)=-\frac38\) (also negativ), liegt ein Hochpunkt vor, dessen y-Koordinate wir noch mit \(f\) berechnen (bzw. wegen \(N_y\) eh' schon wissen). |
\(f''(x)=0\) \(\Rightarrow18x^2+24=0\) \(\Leftrightarrow{x}^2=-\frac{24}{18}\) \(\Rightarrow\text{ keine Lösung}\) \(\Rightarrow\text{ keine Wendestellen}\) | Hier nun die zweite Ableitung gleich Null (notw. Bed. f. Wendest.), wir erhalten \(x^2=-\frac{24}{18}\). Und da man aus negativen Zahlen keine (Quadrat-)Wurzel ziehen kann, gibt es keine Wendestellen (daher lohnt es hier nichtmal, den Bruch zu \(\frac43\) zu kürzen ;) )! Das ist auch der Grund, warum wir uns die dritte Ableitung gespart haben - wir brauchen sie gar nicht. |
\(f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}\) \((=\frac{1x^2-1}{1x^2-4})\) \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac11=1=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) | Bei gebrochenrationalen Funktionen muss entschieden werden, ob der Zähler oder der Nenner gewichtiger ist (das entscheidet über die Lösung von \(\frac{\infty_1}{\infty_2}\)). Hier sind beide Funktionen 2. Grades, also gleichgewichtigt. Der Grenzwert strebt dann gegen den Quotienten aus den Vorfaktoren der \(x\) mit jeweils höchstem Exponenten - hier eben \(\frac11\). |
\(\text{für}\;\,x\epsilon(-\infty;-2)\;\,\text{ist}\;\,W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\) \(\text{für}\;\,x\epsilon(-\;2\;\,;\quad\,2)\;\,\text{ist}\;\,W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\le\frac14\) \(\text{für}\;\,x\epsilon(\quad\;\,2\;\,;\;\,\infty)\;\,\text{ist}\;\,W(f)=\mathbb{R}\mid{y}\gt1\) \(\Rightarrow{W}(f)=\mathbb{R}\mid\left({y}\gt1\vee{y}\le\frac14\right)\) | Hier muss der Wertebereich abschnittsweise bestimmt werden, denn \(f\) ist nicht stetig. Aus den Grenzwerten (auch die der Polstellen) geht hervor, dass \(f\) links und rechts der Polstellen alle Werte annehmen kann, die größer als \(1\) sind. Zwischen den Polstellen (~im Intervall \((-2;2)\)) ist \(y=\frac14\), die y-Koordinate des Hochpunkts, der größtmögliche Wert. Zusammen ergibt sich der Wertebereich. |
Nachdem wir nun alle markanten Eigenschaften von \(f\) bestimmt haben, übertragen wir die Ergebnisse in ein Koordinatensystem und zeichnen den Graphen (klicke unten auf das Bild).
© Christian Wenning
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